方差与标准差（衡量数据的离散程度）

知识点 · 要点

• 平均数只反映"平均水平"，两组数据平均数相同，波动可能差很多 —— 需要新的量来刻画离散程度。
• 偏差 = 每个数据 − 平均数；所有偏差之和恒为 0，所以不能直接用偏差的平均来衡量波动。
• 方差 = 各偏差平方的平均数：s² = [(x₁−x̄)² + (x₂−x̄)² + … + (xₙ−x̄)²] / n。
• 标准差 s = √(s²)，与原始数据单位一致，比方差更直观（方差单位是"平方单位"）。
• 方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，数据越集中、越整齐。

拓展延伸

• 为什么要平方：偏差有正有负，直接相加会抵消；平方后都变成非负，再取平均才有意义。
• 方差对极端值很敏感：把数据里的一个数换成特别大的数，方差会明显变大（判断"稳定"特别有用）。