实数：无理数与 √2 的发现

知识点 · 要点

• 有理数 = 分数（整数比），可写成有限小数或无限循环小数。
• 无限不循环小数叫无理数：√2、√3、π、0.1010010001…
• 实数 = 有理数 ∪ 无理数；数轴上的点与实数一一对应（实数充满数轴）。
• √2 是第一个被证明的无理数：单位正方形对角线长 √2，不能写成整数比。

拓展延伸

• 毕达哥拉斯学派发现 √2 不可公度，动摇了「万物皆数」的信条——数学史上著名的危机。
• √2 ≈ 1.4142135623… 前 100 位内没有任何循环。
• 带根号化简：√8 = √(4×2) = 2√2，把完全平方因数提出来。