约瑟夫环（数到 k 出圈）

知识点 · 要点

• n 个人围成一圈，从 1 号开始报数，每报到 k 的人出圈，然后下一个人重新从 1 报。
• 问：最后留下的是几号？这就是"约瑟夫环"问题。
• 不用一圈圈数也能算：J(1)=0；J(n) = (J(n−1) + k) mod n —— 一个只有一行的递推式。

拓展延伸

• n 很大时（比如 1000 人），一圈圈模拟要数很久，递推式一步到位。
• 把递推式倒过来看：每多一个人，胜利者的位置就"往后挪 k 个"。
• k = 2 时有个漂亮结论：最后留下的就是"不超过 n 的最大 2 的幂"之外的那部分（试试 k=2）。